В результате освоения данной главы студент должен: знать

• основные аксиомы статики;
• уравнения равновесия сил на плоскости и в пространстве; уметь
• составлять уравнения равновесия для различных систем сил на плоскости и в пространстве;

владеть

• навыками проектирования сил на оси координат;
• навыками приведения систем сил к их равнодействующим.

Аксиомы статики

Статика изучает условия равновесия твердых тел под действием приложенных к ним сил.

Сформулируем основные понятия, используемые в статике и далее в строительной механике.

Под равновесием тела понимают его неподвижность (покой) или равномерное прямолинейное движение. В действительности в природе абсолютного покоя нет. Все тела, расположенные на Земле, движутся вместе с ней. Поэтому можно говорить о покое одного тела относительно какого-либо другого. Следовательно, любой покой относителен. В инженерных науках равновесие любого тела есть его покой относительно Земли, служащей основанием для любого возводимого сооружения.

Совокупность сил, действующих на тело, принято называть системой сил. Силы, образующие систему сил, принято называть составляющими.

Системы сил, под действием каждой из которых твердое тело находится в одинаковом кинематическом состоянии, называются эквивалентными.

Сила, эквивалентная заданной системе сил, называется равнодействующей.

Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется уравновешивающей силой.

Определение равнодействующей по составляющим системы сил называется сложением сил, а обратное действие - разложением силы.

Силы, действующие на данное тело или систему тел, делятся на внешние и внутренние. Внешними называются силы, действующие на данное тело или систему тел со стороны других тел. Одной из разновидностей внешних сил являются реакции в связях. Под реакцией связи понимают силу, с которой связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Внутренними называются силы взаимодействия между отдельными точками данного тела.

Таким образом, чтобы какое-либо тело находилось в покое, система сил, действующая на это тело, должна находиться в равновесии.

Итак, статика занимается изучением условий равновесия внешних сил, приложенных к абсолютно твердому телу, а также рассматривает способы и приемы замены сложных систем сил более простыми эквивалентными системами.

Как и всякая точная наука, статика основана на ограниченном числе очевидных положений, называемых аксиомами статики.

Аксиома 1 (аксиома инерции). Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно.

Аксиома инерции выражает установленный Г. Галилеем закон инерции.

Аксиома 2 (аксиома равновесия двух сил). Две силы, приложенные к твердому телу, уравновешены, если они численно равны и действуют по одной прямой в противоположные стороны (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Аксиома 3 (аксиома присоединения). Если на твердое тело действует какая-либо система сил, то состояние тела не нарушится, если из этой системы исключить или к этой системе добавить уравновешенную систему сил (рис. 2.2).

Предположим, что к твердому телу приложена система сил F v F 2 , Е 3 , Е 4 , под действием которой тело находится в покое или совершает равномерное прямолинейное движение. Приложим к этому телу дополнительно две равные противоположно направленные и взаимно уравновешенные силы Р х и Р 2 (рис. 2.2, а). При этом если тело находится в состоянии покоя, то оно сохранит его; если тело совершает равномерное прямолинейное движение, то оно будет продолжать двигаться под действием новой системы сил P v Р 2 , F 3 , Р А, P v P 2 , т.е. новая система сил будет эквивалентна прежней.

Рис. 2.2

Следствие. Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела , действующую на него силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

Предположим, что к твердому телу в точке А приложена сила Fj (рис. 2.2, б). Дополнительно приложим в точке В , лежащей на линии действия силы Fj, две новые силы F 2 и F 3 , равные по модулю силе Fj и направленные по линии ее действия в противоположные стороны. Затем удалим силы Fj и F 3 (по аксиоме 3). На тело будет действовать только одна сила F 2 = Fj.

Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в той же точке и представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на данных силах как на сторонах (рис. 2.3, а).

Рис. 2.3

Эта аксиома выражает правило геометрического сложения двух сил:

Модуль равнодействующей силы определяется по формуле

где а - угол между направлениями сил Fj и F 2 .

Используя аксиому 4 для сложения двух сил, приложенных в точке, построение параллелограмма можно свести к построению треугольника сил (рис. 2.3, б).

В этом случае для двух сил fj и F 2 , приложенных в точке А, достаточно построить вектор ВС, равный F 2 , и точку А соединить с точкой С. Вектор АС и будет равнодействующей силой для F] и F-,. При этом следует обратить внимание на то, что направление равнодействующей R (замыкающего вектора) направлено навстречу слагаемых векторов по контуру треугольника.

Построением параллелограмма или треугольника сил может быть решена и обратная задача - разложение силы на две составляющие.

Для решения этой задачи необходимо, кроме заданной силы, знать еще два условия, достаточных для построения параллелограмма или треугольника сил, а именно - направления, по которым нужно произвести разложение.

Например, задана сила F] (рис. 2.4, а), которую требуется представить в виде двух сил, действующих по направлениям А и В.

Рис. 2.4

Для решения задачи из вершины вектора F] проведем две прямые A i и параллельные направлениям А и В. Отрезки О А и ОВ, отсеченные этими прямыми, представляют собой величины векторов F 2 и Д 3 (рис. 2.4, б), для которых соблюдается условие геометрического сложения

Наиболее часто в инженерной практике встречается необходимость разложения силы параллельно координатным осям (получение проекций силы на координатные оси).

Применив прием разложения силы F на два направления, получим составляющие F x и F y (рис. 2.5). Отрезки X и Y являются проекциями силы F на координатные оси. Из геометрии известно, что проекцией вектора на ось называется произведение величины этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением оси:

где а - угол, образованный направлением сил F с осью х.

Проекции силы на координатные оси считаются положительными, если их направления совпадают с направлением осей.

Рис. 2.5

Из рис. 2.5 видно, что величина силы а из уравнений (2.2) можно записать

Формулы (2.3) и (2.4) определяют направление и величину силы F.

Аксиома 5 (аксиома равенства дейс твия и противодействия). Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Аксиома впервые сформулирована И. Ньютоном и показывает, что действие двух тел друг на друга всегда взаимно, численно одинаково и противоположно направлено, т.е. в природе не существует одностороннего действия сил.

Аксиома 6 (аксиома затвердевания). Равновесие физического тела не нарушается при его затвердевании.

Процесс превращения физического тела, т.е. реального тела природы, в абсолютно твердое тело можно представить себе мысленно как наложение добавочных абсолютно жестких связей, делающих расстояния между точками физического тела неизменными. Такое изменение физического тела не может нарушить его состояние равновесия.

Данная аксиома широко используется в инженерной практике при определении реакций в связях и внутренних сил по недеформированному состоянию тела.

Система аксиом статики, о которой мы уже упоминали, была сформулирована И.Ньютоном в 1687 г. в его работе «Математические основы натуральной философии». Часть этих аксиом известна из школьного курса физики как законы Ньютона, хотя первый из них – закон инерции был сформулирован еще Г.Галилеем.

1. Аксиома инерции. Под действием уравновешенной системы сил тело движется прямолинейно и равномерно или находится в состоянии покоя.

2. Аксиома равновесия системы двух сил. Система двух сил уравновешена в том и только в том случае, если эти силы:

действуют по одной прямой, соединяющей точки их приложения;

равны по модулю;

направлены в противоположные стороны (Рис.1).

Отметим, в частности, что из условия: $(\vec{Р_1} , \vec{Р_2}) \sim 0$ следует, что $\vec{P_1} = - \vec{P_2}$.

3. Аксиома присоединения или исключения уравновешенной системы сил. Действие системы сил на тело не изменится, если к ней присоединить (исключить из нее) уравновешенную систему сил.

Следствием этой аксиомы является следующая

Теорема 1. Действие силы на ТТ не изменится, если эту силу перенести вдоль линии действия в любую точку этого тела.

Формулировка теоремы означает, что сила $\vec{Р}$, приложенная в точке А твердого тела, эквивалентна силе $\vec{{Р}"}$ , приложенной в точке В того же тела и лежащей на линии действия силы $\vec{Р}$. При этом вектор $\vec{Р}$ равен вектору $\vec{Р"}$ : $\vec{Р} = \vec{Р"}$ (Рис.2 а,в ).

Для доказательства присоединим к системе, состоящей из единственной силы $\vec{Р}$ , уравновешенную систему сил, приложенных в точке В: $\vec{Р"}, \vec{Р""} \sim 0$, выбрав $\vec{Р"} = \vec{Р} = -\vec{Р""}$ (Рис.1.3б).

Тогда в силу аксиом 2 и 3 :

$$(\vec{Р}) \sim (\vec{Р}, (\vec{Р"}, \vec{Р""})) \sim ((\vec{Р}, \vec{Р""}), \vec{Р"}) \sim (\vec{Р"})$$

Поскольку силы $(\vec{Р}, \vec{Р""})$ также образуют уравновешенную систему. Теорема доказана.

4. Аксиома параллелограмма. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке пересечения их линий действия и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Отметим, что математически рассмотренная процедура определения равнодействующей соответствует нахождению суммы векторов (Рис.3 ):

$$(\vec{Р_1}, \vec{Р_2}) \sim \vec{R} \Rightarrow \vec{R} = \vec{Р_1} + \vec{Р_2}$$

Для определения модуля равнодействующей возведем последнее выражение в квадрат:

$${|\vec{R}|}^{2} = R^2 = (\vec{Р_1}^2 + \vec{Р_2}^2)^2 = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2}) = {P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\vec{Р_1}\cdot\vec{Р_2})$$

откуда получим искомое выражение:

$$R = \sqrt{{P_1}^2 + {P_2}^2 + 2 P_1 P_2 \cos(\alpha)}$$

Где $\alpha$ угол между векторами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$.

Построение параллелограмма можно, очевидно, заменить построением силового треугольника Oab .

5. Аксиома действия и противодействия. Два тела взаимодействуют с силами $\vec{Р_1}$ и $\vec{Р_2}$, равными по величине и противоположными по направлению:

$$\vec{Р_1} = - \vec{Р_2}$$

Отметим, что эти силы в отличие от сил, о которых идет речь в аксиоме 2 , системы не образуют, поскольку приложены к разным телам.

6. Аксиома отвердевания. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если его считать абсолютно твердым.

Эта аксиома позволяет рассматривать равновесие не только абсолютно твердых, но также деформируемых тел и даже жидкости. Например – в гидростатике.

7. Аксиома освобождаемости от связей. Несвободное тело можно считать свободным, если вместе с активными силами приложить к нему реакции отброшенных связей.

Отметим, что во всех предыдущих аксиомах рассматривались свободные тела. Соответственно для свободных тел впоследствии будут получены условия равновесия и теоремы статики. В то же время все окружающие нас строительные конструкции и сооружения представляют собой примеры тел несвободных. Отсюда понятна значимость последней аксиомы, которая позволяет от несвободных тел переходить к свободным, а также необходимость умения определять реакции этих связей.

Примечания:

Аксиома 1 справедлива только для частного случая ТТ – материальной точки.

На основании следствия из аксиомы 3 сила в ТМ является не точечным, а скользящим вектором, поэтому на практике точка ТТ, к которой приложена сила, может совпадать как с началом, так и с концом этого вектора.

С помощью аксиомы 4 можно выполнить и обратную операцию: разложить силу на две составляющие по двум заранее выбранным направлениям.

Аксиомы статики выражают основные свойства сил, действующих на тело. Большинство аксиом статики является следствием основных законов механики, полученных как обобщение опыта. Так, закон инерции нашел свое отражение в условиях равновесия твердого тела. Их можно получить, решая вопрос о частном случае движения твердого тела – состоянии покоя.

Принцип независимости действия сил. Если на материальную точку (твердое тело) действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил действует независимо от других. Иначе, эффект совместного действия нескольких сил, равен сумме эффектов действия каждой силы в отдельности . Следствием этого принципа механики является аксиома параллелограмма сил (аксиома III).

Рисунок 2 – Силы лежащие на одной прямой:

а - действие двух равных и противоположно направленных сил;

б – перенос силы по линии ее действия

Аксиома I. Если на абсолютно твердое тело действуют две равные и противоположные по направлению силы, лежащие на одной прямой, то они уравновешивают друг друга (рис. 2,а ).

Аксиома II. Действие системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или отнять от нее любую уравновешенную систему сил .

Следствие из аксиом I и II. Действие силы на твердое тело не изменится, если эту силу перенести по линии ее действия в любую точку тела.

Пусть на тело в точке А действует сила F (рис. 2,б ). Приложим к телу по линии действия силы F в точке В две уравновешенные силы F 1 и F 2 , равные по модулю½F ½. Система трех сил F, F 1 и F 2 будет эквивалентна либо силе F , либо силе F 1 (так как сила F 1 =F и F 2 =-F , то систему уравновешенных сил F 2 , F можно не учитывать). В результате в точке В на тело будет действовать сила F 1 =F , что равносильно переносу силы F из точки А в точку В.

Аксиома III. Две силы, действующие на тело в одной точке, имеют равнодействующую в той же точке, изображаемую вектором, представляющим собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах этих сил, как на сторонах .

Равнодействующую R (рис. 3) сил F 1 и F 2 называют геометрической суммой слагаемых векторов F 1 + F 2 = R . Следует отличать векторную сумму от скалярной суммы (алгебраической). Следовательно, аксиому III можно сформулировать так: равнодействующая двух сил, действующих на одно тело в одной точке, равна геометрической (векторной) сумме этих сил и приложена в той же точке тела. Данная аксиома выражает правило параллелограмма сил.

Рисунок 3 – Равнодействующая

двух сил, выходящих из одной точки

Рисунок 4 – Принцип противодействия

Аксиома IV (принцип противодействия). При всяком действии одного материального тела на другое возникает равное по величине и противоположное по направлению противодействие: F 2 = - F 1 (рис. 4). Эта аксиома соответствует третьему закону Ньютона: действие всегда равно и противоположно противодействию. При этом необходимо помнить, что в аксиоме IV рассматривается случай, когда силы приложены к разным телам, и в этом случае система сил не является уравновешенной в отличие от случая действия сил в аксиоме II.

Этот принцип утверждает, что в природе не существует односторонних явлений. На рис. 5 изображена балка, опирающаяся на стены концами А и В. Для выявления сил действия и противодействия отделим балку от стен. Тогда силы действия балки на стену выражаются силами D A и D B , приложенными к стенам, а силы противодействия – силами R A и R B , приложенными к балке, которые в дальнейшем будем называть реакциями.

.

Рисунок 5 – Опирание балки на опоры:

а – схема загружения балки; б – силы действия балки

на опоры и противодействия со стороны опор на балку

Аксиома V (принцип отвердения ). Равновесие деформируемого тела, находящегося под действием системы сил, не нарушится, если под нагрузкой тело станет абсолютно твердым . Из принципа отвердения следует, что условия, необходимые и достаточные для равновесия абсолютно твердого тела, необходимы, но не достаточны для равновесия деформируемого тела, по форме и размерам тождественного с данным.

Аксиома VI(аксиома связей ). Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если механическое действие связей заменить реакциями этих связей (пояснения к этой аксиоме – в следующем параграфе).

Приведенные принципы и аксиомы положены в основу методов решения задач статики. Все они широко используются в инженерных расчетах.

Связи и реакции связей

Тело называется свободным, если оно может перемещаться в любом направлении, например воздушный шар в потоке воздуха. Обычно движение тел в пространстве ограничено. Такие тела называются несвободными.

Любое тело, ограничивающее свободу передвижения другого тела, называют связью. Используя аксиому связей, всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить силами – реакциями связей.

Если в качестве физического тела рассматривать какой-либо элемент инженерного сооружения (балка, ферма, колонна, плита и т. п.), который передает давление на опоры, то реакции опор (связей) называют опорными реакциями. Реакции связей носят вторичное происхождение, они возникают как противодействие другим, активным силам.

Все силы, кроме реакции связей, называют заданными силами. Термин «заданные силы» имеет глубокий смысл. Заданные силы чаще всего являются активными, т.е. силами, которые могут вызвать движение тел, например: сила тяжести, снеговая или ветровая нагрузки и т. п. Учитывая сказанное выше, будем подразделять силы на активные силы и реакции связей.

Одна из главных задач статики твердого тела – нахождение реакции связей. Для определения реакции связей необходимо найти величину этой реакции, линию и направление ее действия. Линия действия реакции обычно проходит через точку касания тела и связи. Численное значение реакции определяется расчетом, а направление реакции зависит от вида (конструкции) связи.

Для определения направления реакции необходимо установить особенности взаимодействия твердого тела со связями различного вида. Следует иметь в виду, что реакция всегда направлена противоположно направлению возможного перемещения тела при удалении связи.

Рассмотрим основные типы связей, используемых в качестве опорных элементов или для соединения элементов сооружений в пространстве.

Свободное (незакрепленное) опирание тел на поверхность или точку опоры (рис. 6, а, б ). Гладкая поверхность или точка опоры препятствуют перемещению тел только по направлению перпендикуляра, восстановленного из точек опоры к этой плоскости. Реакция в этих случаях направлена по нормали (перпендикуляру) к опирающейся поверхности.

Рисунок 6 – Свободное незакрепленное опирание тел:

а – на поверхность; б – на точки опорных элементов

Гибкие связи (рисунок 7, а, б ). Под гибкими связями подразумевают тросы, нити, цепи, веревки и т. п. Перемещение тела от точки подвеса ограничено гибкой нерастяжимой нитью. Такая связь может воспринимать только растягивающие усилия. Реакции гибких связей направлены вдоль нити к точке ее прикрепления.

Рисунок 7 – Гибкие связи: а – подвеска груза с помощью троса;

б – фиксация груза с помощью двух тросов

Связь в виде жесткого стержня, шарнирно закрепленного по концам (рис. 8, а, б ). Такая связь препятствует перемещению тела по оси стержня. Реакция направлена вдоль оси этого стержня. В отличие от гибкой нерастяжимой нити, шарнирный стержень строго фиксирует расстояние между двумя точками по концам стержня, которые не могут сблизиться (сжатие) или удалиться (растяжение).

.

Рисунок 8 – Связи в виде жесткого стержня:

а – стержень препятствует перемещению бруса вниз;

б – стержень препятствует перемещению бруса вверх

Шарнирно - подвижные опоры (рис. 9, а, б ). Под шарниром подразумевают связь, допускающую вращение одного тела по отношению к другому. Одним из распространенных видов шарнирно-подвижных опор являются катковые опоры (катки). Связь препятствует движению тела по нормали к опорной поверхности катков.

Таким образом, в подвижной (катковой) опоре возникает одна опорная реакция, направленная перпендикулярно плоскости опорной поверхности аналогично опорной реакции в шарнирном жестком стержне. Конструктивное решение шарнирно-подвижных опор может быть весьма разнообразным. В строительной механике такую опору изображают в виде шарнирного стержня (рис. 9, б).

Шарнирно-неподвижная опора (рис. 10, а, б ). Это устройство представляет собой опорный элемент (подшипник), внутри которого вращается палец (ось) шарнира. Такая опора не препятствует вращению вокруг оси, но препятствует движению тела в любом направлении в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира.

Реакция R шарнирно-неподвижной опоры расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y , соответствующие направлению выбранных осей (рис. 10, а ).

Рисунок 9 – Шарнирно подвижная опора: а – вид катковой опоры; б – расчетная схема шарнирно-подвижной опоры

Рисунок 10 – Шарнирно-неподвижная опора: а – вид шарнирно-неподвижной опоры; б , в – расчетные схемы шарнирно-неподвижных опор

В строительной механике шарнирно-неподвижную опору изображают в виде двух шарнирных стержней пересекающихся в точке опоры (рис. 10, б ) или шарнира (рис. 10, в ).

Рисунок 11 – Жесткая заделка:

а – вид жесткой заделки; б – расчетная схема жесткой заделки

Жесткая заделка (рисунок 11, а, б ). Это соединение исключает возможность каких-либо перемещений абсолютного твердого тела. Балка, изображенная на рис.11, а , жестко заделана в стену в точке А. Перемещению ее в вертикальном направлении, препятствует реакция Ry, перемещению в горизонтальном направлении препятствует реакция Rx и повороту вокруг точки А – опорный момент М А. Характерным для данной опоры является наличие опорного момента сил, исключающего вращение тела вокруг любой оси. Схематическое изображение такой опоры в строительной механике показано на рис. 11, б.

С помощью указанных опорных связей сооружения прикрепляются к фундаментам или отдельные элементы соединяются между собой.

Проекция силы на ось

Ввиду особой важности для решения задач статики напомним известное из курса векторной алгебры определение проекции вектора на ось, в нашем случае - вектора F .

Проекцией вектора F = AB (рис. 12) на ось m называют отрезок А m В m оси m, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси m и проходящими через начало и конец вектора F. Точка А m – начало проекции, точка В m – конец проекции.

Если направление от начала проекции А m к концу проекции В m совпадает с положительным направлением оси, то величину проекции берут со знаком плюс, а в противоположном случае – со знаком минус. Данное определение справедливо при любых расположениях вектора F и оси m в пространстве. На рис. 12 проекция силы F на ось m – F m положительна.

Проведем ось m 1 , параллельную оси m . Так как отрезок АА m = СВ m , а плоскости I и II перпендикулярны оси m , то АС=А m В m =F m . Следовательно, при определении проекции силы на ось можно силу или ось переносить параллельно так, чтобы получились пересекающиеся прямые, а силу считать приложенной в точке пересечения.

Величину проекции силы на ось при всех возможных положениях силы можно определить по единой формуле F m =Fcosa, где a - угол между направлением вектора силы и оси m . В практических расчетах удобнее умножать модуль силы на косинус ее острого угла с осью , а знак величины проекции определять из чертежа.

Равнодействующую двух сил можно получить из правила силового треугольника. Из правила параллелограмма отрезок АВ (рис. 13) равен и параллелен отрезку ОС. Поэтому, если мысленно отложить вектор силы F 2 от конца вектора силы F 1 (точка А ), то равнодействующая R имеет начало в точке О , а конец - в точке В . Получили правило силового треугольника.

Аналогично, чтобы сложить систему сил, приложенных в одной точке, необходимо от конца первой силы отложить вектор второй силы, от конца второй силы отложить вектор третьей силы и т. д. Вектор равнодействующей R имеет начало в начале первой силы и конец в конце последней. Вектор R, замыкающий силовой многоугольник, называют векторной суммой сил.

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. Система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, всегда может быть заменена одной сосредоточенной силой – равнодействующей, проходящей через точку пересечения линий действия этих сил. Такая равнодействующая называется главным вектором системы сходящихся сил.

Момент силы. Пара сил

Действие силы на тело характеризуется ее численным значением (модулем), линией действия и направлением. Кроме того, в случае закрепленного тела (в одной или в нескольких точках) вводится понятие момента силы относительно точки.

Рисунок 14 –

Момент силы F относительно точки О

Момент силы относительно точки характеризует вращающее действие силы относительно этой точки. Его определяют как произведение силы F на длину перпендикуляра h, опущенного из этой точки на линию действия силы (рис. 14). Длину этого перпендикуляра называют плечом . Формулу для момента силы можно записать так: M oi = F i h i , где индекс о обозначает точку, относительно которой определяют момент силы (центр момента), h i – плечо силы F i .

Примем условно момент силы на рис. 15 положительным, если он стремится повернуть тело вокруг центра момента по ходу часовой стрелки, и отрицательным – против часовой стрелки. Тогда M o 1 = - F 1 h 1 , M o 2 =F 2 h 2 , M o 3 = 0 . Момент силы F 3 относительно точки о (М о3 ) равен нулю, так как линия действия данной силы пересекает точку о .

Пара сил – это две равные по абсолютному значению параллельные силы, направленные в противоположные стороны и имеющие разные линии действия (рис. 16). Плоскость, в которой действует пара сил, называется плоскостью пары. Пара сил не имеет равнодействующей и может быть заменена только другой эквивалентной парой сил. Сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю. Момент пары равен произведению одной из ее сил на плечо.

Пара сил также сообщает телу вращательное движение, как и момент силы относительно точки.

Часто пару сил изображают в виде изогнутой стрелки с обозначением момента (рис. 16). Такое упрощенное изображение оправдано тем, что пара сил характеризуется моментом, а не ее положением в плоскости. Но если необходимо определять не внешние силы, а внутренние в разных сечениях элемента, как это делается в сопротивлении материалов, то важен знак и место приложения пары сил.

Например, внутренние силы будут различны для балок, изображенных на рис.17, а , б.

Рисунок 17 – Замена пары сил сосредоточенным моментом:

а ) вид изогнутой оси балки при нагружении двумя сосредоточенными силами;

б ) вид изогнутой оси балки при нагружении сосредоточенным моментом

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F 1 = F 2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).

Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равновесии не может.

Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

аксиома статика центр тяжести

В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и, такие, что, . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и согласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В результате на тело. Будет действовать только одна сила, равная, но приложенная в точке В .

Таким образом, вектор, изображающий силу, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).

Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Вектор, равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и:

Величина равнодействующей

Конечно, Такое равенство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной прямой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то

Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и приложенную в той же точке.

Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Закон о равенстве действия и противодействия является одним из основных законов механики. Из него следует, что если тело А действует на тело В с силой, то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой (рис. 13). Однако силы и не образуют уравновешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.

Систе м ма сходя м щихся сил -- это такая система сил, действующих на абсолютно твёрдое тело, в которой линии действия всех сил пересекаются в одной точке.

Такая система сил является на плоскости статически определимой, если число неизвестных сил в ней не больше двух (а не трёх, как в других статически определимых системах)

В трёхмерном пространстве сходящаяся система сил является статически определимой, если число неизвестных сил в ней не превышает трёх.

Произвольная плоская система сил - это система сил, линии действия которых расположены в плоскости независимо.

Любая плоская произвольная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, при приведении к произвольно избранному центру О, может быть заменена одной силой, равняющейся главному вектору системы и приложенной в центре приведения О, и одной парой с моментом, равняющемуся главному моменту системы относительно центра О.

Уравнения равновесия - это условия равновесия, в которые входят известные активные силы и неизвестные реакции связей, т.е. аналитические условия равновесия данной системы сил.

Задача называется статически определимой , если число неизвестных реакций связей равняется числу независимых уравнений равновесия.

Если для данной конструкции число всех реакций (неизвестных) будет больше количества уравнений, в которые входят реакции, то конструкция будет статически неопределимой .

В зависимости от взаимного движения тел трение между твердыми телами бывает трех видов:

· трение скольжения.

· трение качения;

· трение вращения.

Пространственная система сил. Система сил называется пространственной, если линии их действия расположены в пространстве произвольным образом. Для пространственных систем сил остаются справедливыми все те положения, которые были сформулированы для плоской системы сил.

Центр тяжести твердого тела

Центром тяжести твердого тела называется неизменно связанная с этим телом точка С , через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести данного тела, при любом положении тела в пространстве.

Центр тяжести применяется при исследовании устойчивости положений равновесия тел и сплошных сред, находящихся под действием сил тяжести и в некоторых других случаях, а именно: в сопротивлении материалов и в строительной механике - при использовании правила Верещагина.

Существуют два способа определения центра тяжести тела: аналитический и экспериментальный. Аналитический способ определения центра тяжести непосредственно вытекает из понятия центра параллельных сил.

Координаты центра тяжести, как центра параллельных сил, определяются формулами:

где Р - вес всего тела; pk - вес частиц тела; xk, yk, zk - координаты частиц тела.

Для однородного тела вес всего тела и любой её части пропорционален объёму P=Vг , pk=vk г , где г - вес единицы объёма, V - объем тела. Подставляя выражения P , pk в формулы определения координат центра тяжести и, сокращая на общий множитель г , получим:

Точка С , координаты которой определяются полученными формулами, называется центром тяжести объема .

Если тело представляет собой тонкую однородную пластину, то центр тяжести определяется формулами:

где S - площадь всей пластины; sk - площадь её части; xk, yk - координаты центра тяжести частей пластины.

Точка С в данном случае носит название центра тяжести площади .

Числители выражений, определяющих координаты центра тяжести плоских фигур, называются статическими моментами площади относительно осей у и х :

Тогда центр тяжести площади можно определить по формулам:

Для тел, длина которых во много раз превышает размеры поперечного сечения, определяют центр тяжести линии. Координаты центра тяжести линии определяют формулами:

где L - длина линии; lk - длина ее частей; xk, yk, zk - координата центра тяжести частей линии.

Способы определения координат центров тяжести тел

Основываясь на полученных формулах, можно предложить практические способы определения центров тяжести тел.

1. Симметрия . Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.

Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.

2. Разбиение . Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади).

Пример . Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке. Пластину можно разбить на прямоугольники различным способом и определить координаты центра тяжести каждого прямоугольника и их площади.

Ответ: xc =17.0см; yc =18.0см.

Дополнение . Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны.

Пример . Определить центр тяжести круглой пластины, имеющей вырез радиусом r = 0,6 R

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза

площадь выреза

Площадь пластины с вырезом

Пластина с вырезом имеет ось симметрии О1x , следовательно, yc =0.

4. Интегрирование . Если тело нельзя разбить на конечное число частей, положение центров тяжести которых известны, тело разбивают на произвольные малые объемы, для которых формула с использованием метода разбиения принимает вид:

Далее переходят к пределу, устремляя элементарные объемы к нулю, т.е. стягивая объемы в точки. Суммы заменяют интегралами, распространенными на весь объем тела, тогда формулы определения координат центра тяжести объема принимают вид:

Формулы для определения координат центра тяжести площади:

Координаты центра тяжести площади необходимо определять при изучении равновесия пластинок, при вычислении интеграла Мора в строительной механике.

Пример . Определить центр тяжести дуги окружности радиуса R с центральным углом АОВ = 2б (рис. 6.5).

Дуга окружности симметрична оси Ох , следовательно, центр тяжести дуги лежит на оси Ох , yс = 0.

Согласно формуле для центра тяжести линии:

Экспериментальный способ . Центры тяжести неоднородных тел сложной конфигурации можно определять экспериментально: методом подвешивания и взвешивания. Первый способ состоит в том, что тело подвешивается на тросе за различные точки. Направление троса на котором подвешено тело, будет давать направление силы тяжести. Точка пересечения этих направлений определяет центр тяжести тела.

Метод взвешивания состоит в том, что сначала определяется вес тела, например автомобиля. Затем на весах определяется давление заднего моста автомобиля на опору. Составив уравнение равновесия относительно какой- либо точки, например оси передних колес, можно вычислить расстояние от этой оси до центра тяжести автомобиля.

Иногда при решении задач следует применять одновременно разные методы определения координат центра тяжести.

Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треугольника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные.

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

	Наименование фигуры
	Дуга окружности : центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc =0). R - радиус окружности.
	Однородный круговой сектор уc =0). где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Сегмент : центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc =0). где б - половина центрального угла; R - радиус окружности.
	Полукруг :
	Треугольник : центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1, y1, x2, y2, x3, y3 - координаты вершин треугольника
	Конус : центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
	Полусфера : центр тяжести лежит на оси симметрии.
	Трапеция: Площадь фигуры.
	- площадь фигуры;
	- площадь фигуры;

Размещено на Allbest.ru

...

Подобные документы

Статика - розділ механіки, в якому вивчаються умови рівноваги механічних систем під дією прикладених до них сил і моментів. Історична довідка. Аксіоми статики. Паралелограм сил. Рівнодіюча сила. Закон про дію та протидію. Застосування законів статики.

презентация , добавлен 07.11.2012


Кинематика как раздел механики, в котором движение тел рассматривается без выяснения причин, его вызывающих. Способы определения координат центра тяжести. Статические моменты площади сечения. Изменение моментов инерции при повороте осей координат.

презентация , добавлен 22.09.2014


Линия действия силы. Основные аксиомы статики. Принцип освобождаемости от связей. Геометрический способ сложения сил. Разложить силу на составляющие. Теорема о проекции вектора суммы. Равновесие системы сходящихся сил. Момент силы относительно точки.

презентация , добавлен 09.11.2013


Понятие и история создания статики, вклад Архимеда в ее развитие. Определение первого условия равновесия тела по второму закону Ньютона. Сущность правила моментов сил, вычисление центра тяжести. Виды равновесия: устойчивое, неустойчивое, безразличное.

презентация , добавлен 28.03.2013


Аксиомы статики. Моменты системы сил относительно точки и оси. Трение сцепления и скольжения. Предмет кинематики. Способы задания движения точки. Нормальное и касательное ускорение. Поступательное и вращательное движение тела. Мгновенный центр скоростей.

шпаргалка , добавлен 02.12.2014


Определение реакций опор плоской составной конструкции, плоских ферм аналитическим способом. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении, усилий в стержнях методом вырезания узлов. Расчет главного вектора и главного момента.

курсовая работа , добавлен 14.11.2017


Движение тела по эллиптической орбите вокруг планеты. Движение тела под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в среде с сопротивлением. Применение законов движения тела под действием силы тяжести с учетом сопротивления среды в баллистике.

курсовая работа , добавлен 17.06.2011


Основные задачи динамики твердого тела. Шесть степеней свободы твердого тела: координаты центра масс и углы Эйлера, определяющие ориентацию тела относительно центра масс. Сведение к задаче о вращении вокруг неподвижной точки. Описание теоремы Гюйгенса.

презентация , добавлен 02.10.2013


Определение равнодействующей плоской системы сил. Вычисление координат центра тяжести шасси блока. Расчёт на прочность элемента конструкции: построение эпюр продольных сил, прямоугольного и круглого поперечного сечения, абсолютного удлинения стержня.

курсовая работа , добавлен 05.11.2009


Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. Первые интегралы системы. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.