Изучая царицу всех наук - математику, в определенный момент все сталкиваются с дробями. Хотя это понятие (как и сами виды дробей или математические действия с ними) совсем несложное, к нему нужно относиться внимательно, ведь в реальной жизни за пределами школы оно очень пригодится. Итак, давайте освежим свои знания о дробях: что это, для чего нужно, какие виды их бывают и как совершать с ними различные арифметические действия.
Ее величество дробь: это что такое
Дробями в математике называются числа, каждое из которых состоит из одной или более частей единицы. Такие дроби еще называют обыкновенными, либо простыми. Как правило, они записываются в виде двух чисел, которые разделены горизонтальной или слеш-чертой, она называется «дробной». Например: ½, ¾.
Верхнее, или первое из этих чисел - это числитель (показывает, сколько взято долей от числа), а нижнее, или второе - знаменатель (демонстрирует, на столько частей разделена единица).
Дробная черта фактически выполняет функции знака деления. К примеру, 7:9=7/9
Традиционно обыкновенные дроби меньше единицы. В то время как десятичные могут быть больше ее.
Для чего нужны дроби? Да для всего, ведь в реальном мире далеко не все числа целые. К примеру, две школьницы в столовой купили в складчину одну вкусную шоколадку. Когда они уже собрались делить десерт, встретили подружку и решили угостить и и ее. Однако теперь необходимо правильно разделить шоколадку, если учесть, что она состоит из 12 квадратиков.
Поначалу девчонки хотели разделить все поровну, и тогда каждой бы досталось по четыре кусочка. Но, раздумав, они решили угостить подружку, не 1/3, а 1/4 шоколадки. А поскольку школьницы плохо изучали дроби, то они не учли, что при подобном раскладе в результате у них останется 9 кусочков, которые очень плохо делятся на двоих. Этот довольно простой пример показывает, насколько важно уметь правильно находить часть от числа. А ведь в жизни подобных случаев гораздо больше.
Виды дробей: обыкновенные и десятичные
Все математические дроби делятся на два больших разряда: обыкновенные и десятичные. Об особенностях первого из них было рассказано в предыдущем пункте, так что теперь стоит уделить внимание второму.
Десятичной называют позиционную запись дроби числа, которая фиксируется на письме через запятую, без черточки или слеша. Например: 0,75, 0,5.
Фактически десятичная дробь идентична обыкновенной, однако, в ее знаменателе всегда единица с последующими нулями - отсюда произошло и ее название.
Число, предшествующее запятой, - это целая часть, а все находящееся после - дробная. Любую простую дробь можно перевести в десятичную. Так, указанные в предыдущем примере десятичные дроби можно записать как обычные: ¾ и ½.
Стоит отметить, что и десятичные, и обыкновенные дроби могут быть как положительными, так и отрицательными. Если перед ними стоит знак "-", данная дробь отрицательная, если "+" - то положительная.
Подвиды обыкновенных дробей
Есть такие виды дробей простых.
Подвиды десятичной дроби
В отличие от простой, десятичная дробь делится всего на 2 вида.
- Конечная - получила такое название из-за того, что после запятой у нее ограниченное (конечное) число цифр: 19,25.
- Бесконечная дробь - это число с нескончаемым количеством цифр после запятой. К примеру, при делении 10 на 3 результатом будет бесконечная дробь 3,333…
Сложение дробей
Проводить различные арифметические манипуляции с дробями немного сложнее, чем с обычными числами. Однако, если усвоить основные правила, решить любой пример с ними не составит особого труда.
Например: 2/3+3/4. Наименьшим общим кратным для них будет 12, следовательно, необходимо, чтобы в каждом знаменателе стояло это число. Для этого числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 4, получается 8/12, аналогично поступаем со вторым слагаемым, но только множим на 3 - 9/12. Теперь можно легко решить пример: 8/12+9/12= 17/12. Получившаяся дробь - это неправильная величина, поскольку числитель больше знаменателя. Ее можно и нужно пребразовать в правильную смешанную, разделив 17:12= 1 и 5/12.
В случае, если слагаются смешанные дроби, сначала действия совершаются с целыми числами, а потом с дробными.
Если в примере присутствует десятичная дробь и обычная, необходимо, чтобы обе стали простыми, потом привести их к одному знаменателю и сложить. К примеру 3,1+1/2. Число 3,1 можно записать как смешанную дробь 3 и 1/10 или как неправильную - 31/10. Общим знаменателем для слагаемых будет 10, поэтому нужно умножить поочередно числитель и знаменатель 1/2 на 5, получается 5/10. Далее можно легко все высчитать: 31/10+5/10=35/10. Полученный результат - неправильная сократимая дробь, приводим ее в нормальный вид, сократив на 5: 7/2=3 и 1/2, или десятичной - 3,5.
Если слагать 2 десятичные дроби, важно, чтобы после запятой было одинаковое количество цифр. Если это не так, нужно просто дописать необходимое количество нулей, ведь в десятичной дроби это можно сделать безболезненно. Например, 3,5+3,005. Чтобы решить это задание, нужно к первому числу прибавить 2 ноля и далее поочередно слагать: 3,500+3,005=3,505.
Вычитание дробей
Вычитая дроби, стоит поступать так же, как и при сложении: свести к общему знаменателю, отнять один числитель от другого, при необходимости перевести результат в смешанную дробь.
Например: 16/20-5/10. Общим знаменателем будет 20. Нужно привести вторую дробь к этому знаменателю, умножив обе ее части на 2, получается 10/20. Теперь можно решать пример: 16/20-10/20= 6/20. Однако этот результат относится к сократимым дробям, поэтому стоит поделить обе части на 2 и получается результат - 3/10.
Умножение дробей
Деление и умножение дробей - значительно более простые действия, нежели сложение и вычитание. Дело в том, что, выполняя эти задания, нет необходимости искать общий знаменатель.
Чтобы умножить дроби, нужно просто поочередно перемножить между собою оба числителя, а затем и оба знаменателя. Получившийся результат сократить, если дробь - это сократимая величина.
Например: 4/9х5/8. После поочередного умножения получается такой результат 4х5/9х8=20/72. Такая дробь сократима на 4, поэтому конечный ответ в примере - 5/18.
Как делить дроби
Деление дробей - тоже несложное действие, фактически оно все равно сводится к их умножению. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно вторую перевернуть и умножить на первую.
Например, деление дробей 5/19 и 5/7. Чтобы решить пример, нужно поменять местами знаменатель и числитель второй дроби и умножить: 5/19х7/5=35/95. Результат можно сократить на 5 - получается 7/19.
В случае, если необходимо разделить дробь на простое число, методика немного отличается. Изначально стоит записать это число как неправильную дробь, а потом делить по той же схеме. Например, 2/13:5 нужно записать как 2/13: 5/1. Теперь нужно перевернуть 5/1 и умножить получившиеся дроби: 2/13х1/5= 2/65.
Иногда приходится совершать деление дробей смешанных. С ними нужно поступать, как и с целыми числами: превратить в неправильные дроби, перевернуть делитель и умножить все. Например, 8 ½: 3. Превращаем все в неправильные дроби: 17/2: 3/1. Далее следует переворот 3/1 и умножение: 17/2х1/3= 17/6. Теперь следует перевести неправильную дробь в правильную - 2 целых и 5/6.
Итак, разобравшись с тем, что такое дроби и как можно с ними совершать различные арифметические действия, нужно постараться не забывать об этом. Ведь люди всегда более склонны делить что-то на части, нежели прибавлять, поэтому нужно уметь делать это правильно.
Хотите почувствовать себя сапером? Тогда этот урок - для вас! Потому что сейчас мы будем изучать дроби - это такие простые и безобидные математические объекты, которые по способности «выносить мозг» превосходят весь остальной курс алгебры.
Главная опасность дробей состоит в том, что они встречаются в реальной жизни. Этим они отличаются, например, от многочленов и логарифмов, которые можно пройти и спокойно забыть после экзамена. Поэтому материал, изложенный в данном уроке, без преувеличения можно назвать взрывоопасным.
Числовая дробь (или просто дробь) - это пара целых чисел, записанных через косую или горизонтальную черту.
Дроби, записанные через горизонтальную черту:
Те же самые дроби, записанные через косую черту:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.
Обычно дроби записываются через горизонтальную черту - так с ними проще работать, да и выглядят они лучше. Число, записанное сверху, называется числителем дроби, а записанное снизу - знаменателем.
Любое целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1. Например, 12 = 12/1 - получилась дробь из приведенного выше примера.
Вообще, в числитель и знаменатель дроби можно поставить любое целое число. Единственное ограничение - знаменатель должен быть отличен от нуля. Вспомните старое доброе правило: «На ноль делить нельзя!»
Если в знаменателе все-таки стоит ноль, дробь называется неопределенной. Такая запись не имеет смысла и не может участвовать в вычислениях.
Основное свойство дроби
Дроби a /b и c /d называются равными, если ad = bc .
Из этого определения следует, что одну и ту же дробь можно записать по-разному. Например, 1/2 = 2/4 , поскольку 1 · 4 = 2 · 2. Разумеется, существует множество дробей, которые не равны друг другу. Например, 1/3 ≠ 5/4 , поскольку 1 · 4 ≠ 3 · 5.
Возникает резонный вопрос: как найти все дроби, равные данной? Ответ дадим в форме определения:
Основное свойство дроби - числитель и знаменатель можно умножать на одно и то же число, отличное от нуля. При этом получится дробь, равная данной.
Это очень важное свойство - запомните его. С помощью основного свойства дроби можно упрощать и сокращать многие выражения. В будущем оно постоянно будет «всплывать» в виде различных свойств и теорем.
Неправильные дроби. Выделение целой части
Если числитель меньше знаменателя, такая дробь называется правильной. В противном случае (т.е. когда числитель больше или хотя бы равен знаменателю) дробь называется неправильной, и в ней можно выделить целую часть.
Целая часть записывается крупным числом спереди перед дробью и выглядит так (отмечена красным):
Чтобы выделить целую часть в неправильной дроби, надо выполнить три простых шага:
- Найдите, сколько раз знаменатель помещается в числителе. Другими словами, найдите максимальное целое число, которое при умножении на знаменатель все равно будет меньше числителя (в крайнем случае - равно). Это число и будет целой частью, поэтому записываем его спереди;
- Умножьте знаменатель на целую часть, найденную в предыдущем шаге, а результат вычтите из числителя. Полученный «огрызок» называется остатком от деления, он всегда будет положительным (в крайнем случае - ноль). Записываем его в числитель новой дроби;
- Знаменатель переписываем без изменений.
Ну как, сложно? На первый взгляд, может быть и сложно. Но стоит немного потренироваться - и вы будете делать это почти устно. А пока взгляните на примеры:
Задача. Выделите целую часть в указанных дробях:
Во всех примерах целая часть выделена красным цветом, а остаток от деления - зеленым.
Обратите внимание на последнюю дробь, где остаток от деления оказался равным нулю. Получается, что числитель полностью разделился на знаменатель. Это вполне логично, ведь 24: 6 = 4 - суровый факт из таблицы умножения.
Если все делать правильно, числитель новой дроби обязательно будет меньше знаменателя, т.е. дробь станет правильной. Отмечу также, что лучше выделять целую часть в самом конце задачи, перед записью ответа. Иначе можно значительно усложнить вычисления.
Переход к неправильной дроби
Существует и обратная операция, когда мы избавляемся от целой части. Она называется переходом к неправильной дроби и встречается намного чаще, поскольку работать с неправильными дробями значительно проще.
Переход к неправильной дроби также выполняется в три шага:
- Умножить целую часть на знаменатель. В результате могут получаться довольно большие числа, но нас это не должно смущать;
- Прибавить полученное число к числителю исходной дроби. Результат записать в числитель неправильной дроби;
- Переписать знаменатель - опять же, без изменений.
Вот конкретные примеры:
Задача. Переведите в неправильную дробь:
Для наглядности целая часть снова выделена красным цветом, а числитель исходной дроби - зеленым.
Рассмотрим случай, когда в числителе или знаменателе дроби стоит отрицательное число. Например:
В принципе, ничего криминального в этом нет. Однако работать с такими дробями бывает неудобно. Поэтому в математике принято выносить минусы за знак дроби.
Сделать это очень просто, если вспомнить правила:
- «Плюс на минус дает минус». Поэтому если в числителе стоит отрицательное число, а в знаменателе - положительное (или наоборот), смело зачеркиваем минус и ставим его перед всей дробью;
- «Минус на минус дает плюс». Когда минус стоит и в числителе, и в знаменателе, просто зачеркиваем их - никаких дополнительных действий не требуется.
Разумеется, эти правила можно применять и в обратном направлении, т.е. можно вносить минус под знак дроби (чаще всего - в числитель).
Случай «плюс на плюс» мы намеренно не рассматриваем - с ним, думаю, и так все понятно. Лучше посмотрим, как эти правила работают на практике:
Задача. Вынесите минусы из четырех дробей, записанных выше.
Обратите внимание на последнюю дробь: перед ней уже стоит знак минус. Однако он «сжигается» по правилу «минус на минус дает плюс».
Также не стоит перемещать минусы в дробях с выделенной целой частью. Эти дроби сначала переводят в неправильные - и лишь затем приступают к вычислениям.
С дробями мы сталкиваемся в жизни гораздо раньше, чем начинается их изучение в школе. Если разрезать целое яблоко пополам, то мы получим часть фрукта - ½. Разрежем ещё раз - будет ¼. Это и есть дроби. И все, казалось бы, просто. Для взрослого человека. Для ребенка же (а данную тему начинают изучать в конце младшей школы) абстрактные математические понятия ещё пугающе непонятны, и преподаватель должен доступно объяснить, что такое правильная дробь и неправильная, обыкновенная и десятичная, какие операции можно с ними совершать и, главное, для чего всё это нужно.
Какие бывают дроби
Знакомство с новой темой в школе начинается с обыкновенных дробей. Их легко узнать по горизонтальной черте, разделяющей два числа - сверху и снизу. Верхнее называется числителем, нижнее - знаменателем. Существует и строчный вариант написания неправильных и правильных обыкновенных дробей - через косую черту, например: ½, 4/9, 384/183. Такой вариант используется, когда высота строки ограничена и нет возможности применить «двухэтажную» форму записи. Почему? Да потому что она удобнее. Чуть позже мы в этом убедимся.
Помимо обыкновенных, существуют также десятичные дроби. Различить их очень просто: если в одном случае используется горизонтальная или наклонная черта, то в другом - запятая, разделяющая последовательности цифр. Посмотрим пример: 2,9; 163,34; 1,953. Мы намеренно воспользовались точкой с запятой в качестве разделителя, чтобы разграничить числа. Первое из них будет читаться так: «две целых, девять десятых».
Новые понятия
Вернемся к обыкновенным дробям. Они бывают двух видов.
Определение правильной дроби звучит следующим образом: это такая дробь, числитель которой меньше знаменателя. Почему это важно? Сейчас увидим!
У вас есть несколько яблок, разделенных на половинки. Всего - 5 частей. Как вы скажете: у вас «два с половиной» или «пять вторых» яблока? Конечно, первый вариант звучит естественнее, и при разговоре с друзьями мы воспользуемся им. А вот если потребуется посчитать, сколько фруктов достанется каждому, если в компании пять человек, мы запишем число 5/2 и разделим его на 5 - с точки зрения математики это будет нагляднее.
Итак, для наименования правильных и неправильных дробей правило таково: если в дроби можно выделить целую часть (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), то она является неправильной. Если этого сделать нельзя, как в случае с ½, 13/16, 9/10, она будет правильной.
Основное свойство дроби
Если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, её величина не изменится. Представьте: торт порезали на 4 равные части и дали вам одну. Такой же торт порезали на восемь частей и дали вам две. Не всё ли равно? Ведь ¼ и 2/8 - это одно и то же!
Сокращение
Авторы задач и примеров в учебниках по математике зачастую стремятся запутать учеников, предлагая громоздкие в написании дроби, которые на самом деле можно сократить. Вот пример правильной дроби: 167/334, который, казалось бы, выглядит очень «страшно». Но на самом деле мы можем записать его как ½. Число 334 делится на 167 без остатка - проделав такую операцию, мы получим 2.
Смешанные числа
Неправильную дробь можно представить в форме смешанного числа. Это когда целая часть вынесена вперед и записана на уровне горизонтальной черты. Фактически выражение принимает вид суммы: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 и так далее.
Чтобы вынести целую часть, нужно разделить числитель на знаменатель. Остаток от деления записать сверху, над чертой, а целую часть - перед выражением. Таким образом, мы получаем две структурные части: целые единицы + правильную дробь.
Можно осуществить и обратную операцию - для этого нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить полученное значение к числителю. Ничего сложного.
Умножение и деление
Как ни странно, умножать дроби проще, чем складывать. Всего-то и требуется - продлить горизонтальную черту: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.
С делением тоже всё просто: нужно перемножить дроби крест-накрест: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.
Сложение дробей
Что делать, если требуется осуществить сложение или а в знаменателе у них разные числа? Поступить так же, как с умножением, не получится - здесь следует понимать определение правильной дроби и её сущность. Нужно привести слагаемые к общему знаменателю, то есть в нижней части обеих дробей должны оказаться одинаковые числа.
Чтобы это осуществить, следует воспользоваться основным свойством дроби: умножить обе части на одно и то же число. Например, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.
Как же выбрать, к какому знаменателю приводить слагаемые? Это должно быть минимальное число, кратное обоим числам, стоящим в знаменателях дробей: для 1/3 и 1/9 это будет 9; для ½ и 1/7 - 14, потому что меньшего значения, делящегося без остатка на 2 и 7, не существует.
Использование
Для чего нужны неправильные дроби? Ведь гораздо удобнее сразу выделить целую часть, получить смешанное число - и дело с концом! Оказывается, если требуется выполнить умножение или деление двух дробей, выгоднее воспользоваться именно неправильными.
Возьмем следующий пример: (2 + 3/17) / (37 / 68).
Казалось бы, сократить и вовсе нечего. Но что, если записать результат сложения в первых скобках в виде неправильной дроби? Посмотрите: (37/17) / (37/68)
Теперь всё встает на свои места! Запишем пример таким образом, чтобы всё стало очевидно: (37*68) / (17*37).
Сократим 37 в числителе и знаменателе и, наконец, разделим верхнюю и нижнюю части на 17. Вы же помните основное правило для правильной и неправильной дроби? Мы можем умножать и делить их на любое число, если делаем это одновременно для числителя и знаменателя.
Итак, получаем ответ: 4. Пример выглядел сложным, а ответ содержит всего одну цифру. В математике так часто происходит. Главное - не бояться и следовать простым правилам.
Распространенные ошибки
При осуществлении учащийся может легко совершить одну из популярных ошибок. Обычно они происходят из-за невнимательности, а иногда - из-за того, что изученный материал ещё не отложился в голове как следует.
Нередко сумма чисел, стоящая в числителе, вызывает желание сократить отдельные её компоненты. Допустим, в примере: (13 + 2) / 13, написанном без скобок (с горизонтальной чертой), многие ученики по неопытности зачеркивают 13 сверху и снизу. Но так делать нельзя ни в коем случае, ведь это грубая ошибка! Если бы вместо сложения стоял знак умножения, мы получили бы в ответе число 2. Но при осуществлении сложения никакие операции с одним из слагаемых не позволительны, только со всей суммой целиком.
Ещё ребята часто ошибаются при делении дробей. Возьмем две правильные несократимые дроби и разделим друг на друга: (5/6) / (25/33). Ученик может перепутать и записать результирующее выражение как (5*25) / (6*33). Но так бы получилось при умножении, а в нашем случае всё будет несколько иначе: (5*33) / (6*25). Сокращаем то, что возможно, и в ответе увидим 11/10. Получившуюся неправильную дробь запишем как десятичную - 1,1.
Скобки
Помните, что в любых математических выражениях порядок действий определяется приоритетом знаков операций и наличием скобок. При прочих равных отсчёт очередности выполнения действий происходит слева направо. Это актуально и для дробей - выражение в числителе или знаменателе рассчитывается строго по этому правилу.
Ведь Это результат деления одного числа на другое. Если они не делятся нацело, получается дробь - вот и всё.
Как записать дробь на компьютере
Поскольку стандартные средства не всегда позволяют создать дробь, состоящую из двух «ярусов», ученики порой идут на различные ухищрения. Например, копируют числители и знаменатели в графический редактор «Пейнт» и склеивают их воедино, рисуя между ними горизонтальную линию. Конечно, есть более простой вариант, который, кстати, предоставляет и массу дополнительных возможностей, которые станут полезны вам в будущем.
Откройте «Майкрософт Ворд». Одна из панелей в верхней части экрана носит называние «Вставка» - нажмите её. Справа, в той стороне, где расположены значки закрытия и сворачивания окна, есть кнопка «Формула». Это именно то, что нам нужно!
Если вы воспользуетесь данной функцией, на экране появится прямоугольная область, в которой можно использовать любые математические знаки, отсутствующие на клавиатуре, а также писать дроби в классическом виде. То есть разделяя числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Вы даже можете удивиться, что такую правильную дробь настолько легко записать.
Изучайте математику
Если вы учитесь в 5-6 классе, то уже скоро знание математики (в том числе - умение работать с дробями!) потребуется во многих школьных предметах. Практически в любой задаче по физике, при измерении массы веществ в химии, в геометрии и тригонометрии без дробей никак не обойтись. Уже скоро вы научитесь вычислять всё в уме, даже не записывая выражения на бумаге, но будут появляться всё более и более сложные примеры. Поэтому выучите, что такое правильная дробь и как с ней работать, не отставайте по учебной программе, своевременно делайте домашние задания, и тогда вы преуспеете.
Одним из самых сложных разделов математики по сей день считаются дроби. История дробей насчитывает не одно тысячелетие. Умение делить целое на части возникло на территории древнего Египта и Вавилона. С годами усложнялись операции, проделываемые с дробями, менялась форма их записи. У каждого были свои особенности во «взаимоотношениях» с этим разделом математики.
Что такое дробь?
Когда возникла необходимость делить целое на части без лишних усилий, тогда и появились дроби. История дробей неразрывна связана с решением утилитарных задач. Сам термин «дробь» имеет арабские корни и происходит от слова, обозначающего «ломать, разделять». С древних времен в этом смысле мало что изменилось. Современное определение звучит следующим образом: дробь — это часть или сумма частей единицы. Соответственно, примеры с дробями представляют собой последовательное выполнение математических операций с долями чисел.
Сегодня различают два способа их записи. возникли в разное время: первые являются более древними.
Пришли из глубины веков
Впервые оперировать дробями начали на территории Египта и Вавилона. Подход математиков двух государств имел значительные отличия. Однако начало и там и там было положено одинаково. Первой дробью стала половина или 1/2. Дальше возникла четверть, треть и так далее. Согласно данным археологических раскопок, история возникновения дробей насчитывает около 5 тысяч лет. Впервые доли числа встречаются в египетских папирусах и на вавилонских глиняных табличках.
Древний Египет
Виды обыкновенных дробей сегодня включают в себя и так называемые египетские. Они представляют собой сумму нескольких слагаемых вида 1/n. Числитель — всегда единица, а знаменатель — натуральное число. Появились такие дроби, как ни трудно догадаться, в древнем Египте. При расчетах все доли старались записывать в виде таких сумм (например, 1/2 + 1/4 + 1/8). Отдельными обозначениями обладали только дроби 2/3 и 3/4, остальные разбивались на слагаемые. Существовали специальные таблицы, в которых доли числа представлялись в виде суммы.
Наиболее древнее из известных упоминаний такой системы встречается в Математическом папирусе Ринда, датируемом началом второго тысячелетия до нашей эры. Он включает таблицу дробей и математические задачи с решениями и ответами, представленными в виде сумм дробей. Египтяне умели складывать, делить и умножать доли числа. Дроби в долине Нила записывались с помощью иероглифов.
Представление доли числа в виде суммы слагаемых вида 1/n, характерное для древнего Египта, использовалось математиками не только этой страны. Вплоть до Средних веков египетские дроби применялись на территории Греции и других государств.
Развитие математики в Вавилоне
Иначе выглядела математика в Вавилонском царстве. История возникновения дробей здесь напрямую связана с особенностями системы счисления, доставшейся древнему государству в наследство от предшественника, шумеро-аккадской цивилизации. Расчетная техника в Вавилоне была удобнее и совершеннее, чем в Египте. Математика в этой стране решала гораздо больший круг задач.
Судить о достижениях вавилонян сегодня можно по сохранившимся глиняным табличкам, заполненным клинописью. Благодаря особенностям материала они дошли до нас в большом количестве. По мнению некоторых в Вавилоне раньше Пифагора открыли известную теорему, что, несомненно, свидетельствует о развитии науки в этом древнем государстве.
Дроби: история дробей в Вавилоне
Система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной. Каждый новый разряд отличался от предыдущего на 60. Такая система сохранилась в современном мире для обозначения времени и величин углов. Дроби также были шестидесятеричными. Для записи использовали специальные значки. Как и в Египте, примеры с дробями содержали отдельные символы для обозначения 1/2, 1/3 и 2/3.
Вавилонская система не исчезла вместе с государством. Дробями, написанными в 60-тиричной системе, пользовались античные и арабские астрономы и математики.
Древняя Греция
История обыкновенных дробей мало чем обогатилась в древней Греции. Жители Эллады считали, что математика должна оперировать лишь целыми числами. Поэтому выражения с дробями на страницах древнегреческих трактатов практически не встречались. Однако определенный вклад в этот раздел математики внесли пифагорейцы. Они понимали дроби как отношения или пропорции, а единицу считали также неделимой. Пифагор с учениками построил общую теорию дробей, научился проводить все четыре арифметические операции, а также сравнение дробей путем приведения их к общему знаменателю.
Священная римская империя
Римская система дробей была связана с мерой веса, называемой «асс». Она делилась на 12 долей. 1/12 асса называлась унцией. Для обозначения дробей существовало 18 названий. Приведем некоторые из них:
семис — половина асса;
секстанте — шестая доля асса;
семиунция — пол-унции или 1/24 асса.
Неудобство такой системы заключалось в невозможности представить число в виде дроби со знаменателем 10 или 100. Римские математики преодолели трудность с помощью использования процентов.
Написание обыкновенных дробей
В Античности дроби уже писали знакомым нам образом: одно число над другим. Однако было одно существенное отличие. Числитель располагался под знаменателем. Впервые так писать дроби начали в древней Индии. Современный нам способ стали использовать арабы. Но никто из названных народов не применял горизонтальную черту для разделения числителя и знаменателя. Впервые она появляется в трудах Леонардо Пизанского, более известного как Фибоначчи, в 1202 году.
Китай
Если история возникновения обыкновенных дробей началась в Египте, то десятичные впервые появились в Китае. В Поднебесной империи их стали использовать примерно с III века до нашей эры. История десятичных дробей началась с китайского математика Лю Хуэя, предложившего использовать их при извлечении квадратных корней.
В III веке нашей эры десятичные дроби в Китае стали применяться при расчете веса и объема. Постепенно они все глубже начали проникать в математику. В Европе, однако, десятичные дроби стали использоваться гораздо позже.
Аль-Каши из Самарканда
Независимо от китайских предшественников десятичные дроби открыл астроном аль-Каши из древнего города Самарканда. Жил и трудился он в XV веке. Свою теорию ученый изложил в трактате «Ключ к арифметике», увидевшем свет в 1427 году. Аль-Каши предложил использовать новую форму записи дробей. И целая, и дробная часть теперь писались в одной строке. Для их разделения самаркандский астроном не использовал запятую. Он писал целое число и дробную часть разными цветами, используя черные и красные чернила. Иногда для разделения аль-Каши также применял вертикальную черту.
Десятичные дроби в Европе
Новый вид дробей начал появляться в трудах европейских математиков с XIII века. Нужно заметить, что с трудами аль-Каши, как и с изобретением китайцев они знакомы не были. Десятичные дроби появились в трудах Иордана Неморария. Затем их использовал уже в XVI веке Французский ученый написал «Математический канон», в котором содержались тригонометрические таблицы. В них Виет использовал десятичные дроби. Для разделения целой и дробной части ученый применял вертикальную черту, а также разный размер шрифта.
Однако это были лишь частные случаи научного использования. Для решения повседневных задач десятичные дроби в Европе стали применяться несколько позже. Произошло это благодаря голландскому ученому Симону Стевину в конце XVI века. Он издал математический труд «Десятая» в 1585 году. В нем ученый изложил теорию использования десятичных дробей в арифметике, в денежной системе и для определения мер и весов.
Точка, точка, запятая
Стевин также не пользовался запятой. Он отделял две части дроби при помощи нуля, обведенного в круг.
Впервые запятая разделила две части десятичной дроби только в 1592 году. В Англии, однако, вместо нее стали применять точку. На территории США до сих пор десятичные дроби пишут именно таким образом.
Одним из инициаторов использования обоих знаков препинания для разделения целой и дробной части был шотландский математик Джон Непер. Он высказал свое предложение в 1616-1617 гг. Запятой пользовался и немецкий ученый
Дроби на Руси
На русской земле первым математиком, изложившим деление целого на части, стал новгородский монах Кирик. В 1136 году он написал труд, в котором изложил метод «счисления лет». Кирик занимался вопросами хронологии и календаря. В своем труде он привел в том числе и деление часа на части: пятые, двадцать пятые и так далее доли.
Деление целого на части применялось при расчете размера налога в XV-XVII веках. Использовались операции сложения, вычитания, деления и умножения с дробными частями.
Само слово «дробь» появилось на Руси в VIII веке. Оно произошло от глагола «дробить, разделять на части». Для названия дробей наши предки использовали специальные слова. Например, 1/2 обозначалась как половина или полтина, 1/4 — четь, 1/8 — полчеть, 1/16 — полполчеть и так далее.
Полная теория дробей, мало чем отличающаяся от современной, была изложена в первом учебнике по арифметике, написанном в 1701 году Леонтием Филипповичем Магницким. «Арифметика» состояла из нескольких частей. О дробях подробно автор рассказывает в разделе «О числах ломаных или с долями». Магницкий приводит операции с «ломанными» числами, разные их обозначения.
Сегодня по-прежнему в числе самых сложных разделов математики называются дроби. История дробей также не была простой. Разные народы иногда независимо друг от друга, а иногда заимствуя опыт предшественников, пришли к необходимости введения, освоения и применения долей числа. Всегда учение о дробях вырастало из практических наблюдений и благодаря насущным проблемам. Необходимо было делить хлеб, размечать равные участки земли, высчитывать налоги, измерять время и так далее. Особенности применения дробей и математических операций с ними зависели от системы счисления в государстве и от общего уровня развития математики. Так или иначе, преодолев не одну тысячу лет, раздел алгебры, посвященный долям чисел, сформировался, развился и с успехом используется сегодня для самых разных нужд как практического характера, так и теоретического.
Рассмотрение данной темы мы начнем с изучения понятия доли в целом, которое даст нам более полное понимание смысла обыкновенной дроби. Дадим основные термины и их определение, изучим тему в геометрическом толковании, т.е. на координатной прямой, а также определим список основных действий с дробями.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Доли целого
Представим некий предмет, состоящий из нескольких, совершенно равных частей. Например, это может быть апельсин, состоящий из нескольких одинаковых долек.
Определение 1
Доля целого или доля – это каждая из равных частей, составляющих целый предмет.
Очевидно, что доли могут быть разные. Чтобы наглядно пояснить это утверждение, представим два яблока, одно из которых разрезано на две равные части, а второе – на четыре. Ясно, что размеры получившихся долей у разных яблок будут различаться.
Доли имеют свои названия, которые зависят от количества долей, составляющих целый предмет. Если предмет имеет две доли, то каждая из них будет определяться как одна вторая доля этого предмета; когда предмет состоит из трех долей, то каждая из них – одна третья и так далее.
Определение 2
Половина – одна вторая доля предмета.
Треть – одна третья доля предмета.
Четверть – одна четвертая доля предмета.
Чтобы сократить запись, ввели следующие обозначения долей: половина - 1 2 или 1 / 2 ; треть - 1 3 или 1 / 3 ; одна четвертая доля - 1 4 или 1 / 4 и так далее. Записи с горизонтальной чертой используются чаще.
Понятие доли естественно расширяется с предметов на величины. Так, можно использовать для измерения небольших предметов доли метра (треть или одна сотая), как одной из единиц измерения длины. Аналогичным образом можно применить доли других величин.
Обыкновенные дроби, определение и примеры
Обыкновенные дробиприменяются для описания количества долей. Рассмотрим простой пример, который приблизит нас к определению обыкновенной дроби.
Представим апельсин, состоящий из 12 долек. Каждая доля тогда будет – одна двенадцатая или 1 / 12 . Две доли – 2 / 12 ; три доли – 3 / 12 и т.д. Все 12 долей или целое число будет выглядеть так: 12 / 12 . Каждая из используемых в примере записей является примером обыкновенной дроби.
Определение 3
Обыкновенная дробь – это запись вида m n или m / n , где m и n являются любыми натуральными числами.
Согласно данному определению, примерами обыкновенных дробей могут быть записи: 4 / 9 , 11 34 , 917 54 . А такие записи: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 не являются обыкновенными дробями.
Числитель и знаменатель
Определение 4Числителем обыкновенной дроби m n или m / n является натуральное число m .
Знаменателем обыкновенной дроби m n или m / n является натуральное число n .
Т.е. числитель – число, расположенное сверху над чертой обыкновенной дроби (или слева от наклонной черты), а знаменатель – число, расположенное под чертой (справа от наклонной черты).
Какой же смысл несут в себе числитель и знаменатель? Знаменатель обыкновенной дроби указывает на то, из скольких долей состоит один предмет, а числитель дает нам информацию о том, каково рассматриваемое количество таких долей. К примеру, обыкновенная дробь 7 54 указывает нам на то, что некий предмет состоит из 54 долей, и для рассмотрения мы взяли 7 таких долей.
Натуральное число как дробь со знаменателем 1
Знаменатель обыкновенной дроби может быть равен единице. В таком случае возможно говорить, что рассматриваемый предмет (величина) неделим, являет собой нечто целое. Числитель в подобной дроби укажет, какое количество таких предметов взято, т.е. обыкновенная дробь вида m 1 имеет смысл натурального числа m . Это утверждение служит обоснованием равенства m 1 = m .
Запишем последнее равенство так: m = m 1 . Оно даст нам возможность любое натуральное число использовать в виде обыкновенной дроби. К примеру, число 74 – это обыкновенная дробь вида 74 1 .
Определение 5
Любое натуральное число m возможно записать в виде обыкновенной дроби, где знаменатель – единица: m 1 .
В свою очередь, любая обыкновенная дробь вида m 1 может быть представлена натуральным числом m .
Черта дроби как знак деления
Использованное выше представление данного предмета как n долей является не чем иным, как делением на n равных частей. Когда предмет разделен на n частей, мы имеем возможность разделить его поровну между n людьми – каждый получит свою долю.
В случае, когда мы изначально имеем m одинаковых предметов (каждый разделен на n частей), то и эти m предметов возможно поровну разделить между n людьми, дав каждому из них по одной доле от каждого из m предметов. При этом у каждого человека будет m долей 1 n , а m долей 1 n даст обыкновенную дробь m n . Следовательно, обыкновенную дробь m n можно использовать, чтобы обозначать деление m предметов между n людьми.
Полученное утверждение устанавливает связь между обыкновенными дробями и делением. И эту связь можно выразить следующим образом: черту дроби возможно иметь в виду в качестве знака деления, т.е. m / n = m: n .
При помощи обыкновенной дроби мы можем записать итог деления двух натуральных чисел. К примеру, деление 7 яблок на 10 человек запишем как 7 10: каждому человеку достанется семь десятых долей.
Равные и неравные обыкновенные дроби
Логичным действием является сравнение обыкновенных дробей, ведь очевидно, что, к примеру, 1 8 яблока отлична от 7 8 .
Результатом сравнения обыкновенных дробей может быть: равны или неравны.
Определение 6
Равные обыкновенные дроби – обыкновенные дроби a b и c d , для которых справедливо равенство: a · d = b · c .
Неравные обыкновенные дроби - обыкновенные дроби a b и c d , для которых равенство: a · d = b · c не является верным.
Пример равных дробей: 1 3 и 4 12 – поскольку выполняется равенство 1 · 12 = 3 · 4 .
В случае, когда выясняется, что дроби не являются равными, обычно необходимо также узнать, какая из данных дробей меньше, а какая – больше. Чтобы дать ответ на эти вопросы, обыкновенные дроби сравнивают, приводя их к общему знаменателю и затем сравнив числители.
Дробные числа
Каждая дробь – это запись дробного числа, что по сути - просто «оболочка», визуализация смысловой нагрузки. Но все же для удобства мы объединяем понятия дроби и дробного числа, говоря просто – дробь.
Все дробные числа, как и любое другое число, имеют свое уникальное месторасположение на координатном луче: существует однозначное соответствие между дробями и точками координатного луча.
Чтобы на координатном луче найти точку, обозначающую дробь m n , необходимо от начала координат отложить в положительном направлении m отрезков, длина каждого из которых составит 1 n долю единичного отрезка. Отрезки можно получить, разделив единичный отрезок на n одинаковых частей.
Как пример, обозначим на координатном луче точку М, которая соответствует дроби 14 10 . Длина отрезка, концами которого является точка О и ближайшая точка, отмеченная маленьким штрихом, равна 1 10 доле единичного отрезка. Точка, соответствующая дроби 14 10 , расположена в удалении от начала координат на расстояние 14 таких отрезков.
Если дроби равны, т.е. им соответствует одно и то же дробное число, тогда эти дроби служат координатами одной и той же точки на координатном луче. К примеру, координатам в виде равных дробей 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 соответствует одна и та же точка на координатном луче, располагающаяся на расстоянии трети единичного отрезка, отложенного от начала отсчета в положительном направлении.
Здесь работает тот же принцип, что и с целыми числами: на горизонтальном, направленном вправо координатном луче точка, которой соответствует большая дробь, разместится правее точки, которой соответствует меньшая дробь. И наоборот: точка, координата которой – меньшая дробь, будет располагаться левее точки, которой соответствует бОльшая координата.
Правильные и неправильные дроби, определения, примеры
В основе разделения дробей на правильные и неправильные лежит сравнение числителя и знаменателя в пределах одной дроби.
Определение 7
Правильная дробь – это обыкновенная дробь, в которой числитель меньше, чем знаменатель. Т.е., если выполняется неравенство m < n , то обыкновенная дробь m n является правильной.
Неправильная дробь - это обыкновенная дробь, числитель которой больше или равен знаменателю. Т.е., если выполняется неравенство undefined , то обыкновенная дробь m n является неправильной.
Приведем примеры: - правильные дроби:
Пример 1
5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;
Неправильные дроби:
Пример 2
13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .
Также возможно дать определение правильных и неправильных дробей, опираясь на сравнение дроби с единицей.
Определение 8
Правильная дробь – обыкновенная дробь, которая меньше единицы.
Неправильная дробь – обыкновенная дробь, равная или бОльшая единицы.
Например, дробь 8 12 – правильная, т.к. 8 12 < 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 > 1 , а 14 14 = 1 .
Немного углубимся в размышление, почему дроби, в которых числитель больше или равен знаменателю получили название «неправильных».
Рассмотрим неправильную дробь 8 8: она сообщает нам, что взято 8 долей предмета, состоящего из 8 долей. Таким образом, из имеющихся восьми долей мы можем составить целый предмет, т.е. заданная дробь 8 8 по сути представляет целый предмет: 8 8 = 1 . Дроби, в которых числитель и знаменатель равны, полноценно заменяет натуральное число 1 .
Рассмотрим также дроби, в которых числитель превосходит знаменатель: 11 5 и 36 3 . Понятно, что дробь 11 5 сообщает о том, что из нее мы можем составить два целых предмета и еще останется одна пятая доля. Т.е. дробь 11 5 – это 2 предмета и еще 1 5 от него. В свою очередь, 36 3 – дробь, означающая по сути 12 целых предметов.
Указанные примеры дают возможность сделать вывод, что неправильные дроби возможно заменить натуральными числами (если числитель без остатка делится на знаменатель: 8 8 = 1 ; 36 3 = 12) или суммой натурального числа и правильной дроби (если числитель не делится на знаменатель без остатка: 11 5 = 2 + 1 5). Вероятно, потому такие дроби и получили название «неправильных».
Здесь также мы сталкиваемся с одним из важнейших навыков работы с числами.
Определение 9
Выделение целой части из неправильной дроби – это запись неправильной дроби в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Также отметим, что существует тесная взаимосвязь между неправильными дробями и смешанными числами.
Положительные и отрицательные дроби
Выше мы говорили о том, что каждой обыкновенной дроби соответствует положительное дробное число. Т.е. обыкновенные дроби – это положительные дроби. Например, дроби 5 17 , 6 98 , 64 79 – положительные, и, когда необходимо особо подчеркнуть «положительность» дроби, она записывается с использованием знака плюс: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .
Если же обыкновенной дроби присвоить знак минус, то полученная запись будет являться записью отрицательного дробного числа, и мы говорим в таком случае об отрицательных дробях. Например, - 8 17 , - 78 14 и т.д.
Положительная и отрицательная дроби m n и - m n – противоположные числа.Например, дроби 7 8 и - 7 8 являются противоположными.
Положительные дроби, как и любые положительные числа в целом, означают прибавление, изменение в сторону увеличения. В свою очередь, отрицательные дроби соответствуют расходу, изменению в сторону уменьшения.
Если мы рассмотрим координатную прямую, то увидим, что отрицательные дроби расположены левее точки начала отсчета. Точки, которым соответствуют дроби, являющиеся противоположными (m n и - m n), располагаются на одинаковом расстоянии от начала отсчета координат О, но по разные стороны от нее.
Здесь также отдельно скажем о дробях, записанных в виде 0 n . Такая дробь равна нулю, т.е. 0 n = 0 .
Суммируя все вышесказанное, мы подошли к важнейшему понятию рациональных чисел.
Определение 10
Рациональные числа – это множество положительных дробей, отрицательных дробей и дробей вида 0 n .
Действия с дробями
Перечислим основные действия с дробями. В общем и целом, суть их та же, что имеют соответствующие действия с натуральными числами
- Сравнение дробей – данное действие мы рассмотрели выше.
- Сложение дробей – результатом сложения обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае сокращаемая до натурального числа).
- Вычитание дробей – действие, обратно сложению, когда по одной известной дроби и заданной сумме дробей определяется неизвестная дробь.
- Умножение дробей – это действие можно описать как нахождение дроби от дроби. Результат умножения двух обыкновенных дробей – обыкновенная дробь (в частном случае равная натуральному числу).
- Деление дробей – действие, обратное умножению, когда мы определяем дробь, на которую необходимо умножить заданную, чтобы получить известное произведение двух дробей.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter