Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. С этой целью выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.
Практически же поступают так: вычисляют (разыгрывают) n возможных значений x i случайной величины Х, находят их среднее арифметическое
И принимают в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а. Таким образом, для применения метода Монте-Карло необходимо уметь разыгрывать случайную величину.
Пусть требуется разыграть дискретную случайную величину Х, т.е. вычислить последовательность ее возможных значений х i (i=1,2, …), зная закон распределения Х. Введем обозначения: R- непрерывная случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0,1); r i (j=1,2,…) – случайные числа (возможные значения R).
Правило: Для того чтобы разыграть дискретную случайную величину Х, заданную законом распределения
Х х 1 х 2 … х n
P p 1 p 2 … p n
1. Разбить интервал (0,1) оси or на n частичных интервалов:
Δ 1 =(0;р 1), Δ 2 =(р 1 ; р 1+ р 2), …, Δ n = (р 1 +р 2 +…+р n -1 ; 1).
2.Выбрать случайное число r j . Если r j попало в частичный интервал Δ i , то разыгрываемая величина приняла возможное значение х i . .
Разыгрывание полной группы событий
Требуется разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий полной группы, вероятности которых известны. Разыгрывание полной группы событий сводится к разыгрыванию дискретной случайной величины.
Правило: Для того чтобы разыграть испытания, в каждом из которых наступает одно из событий А 1, А 2, …, А n полной группы, вероятности которых р 1, р 2 , …, р n известны, достаточно разыграть дискретную величину Х со следующим законом распределения:
P p 1 p 2 … p n
Если в испытании величина Х приняла возможное значение x i =i, то наступило событие А i .
Разыгрывание непрерывной случайной величины
Известна функция распределения F непрерывной случайной величины Х. Требуется разыграть Х, т.е. вычислить последовательность возможных значений х i (i=1,2, …).
А. Метод обратных функций. Правило 1. х i непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F, надо выбрать случайное число r i , приравнять его функции распределения и решить относительно х i полученное уравнение F(х i) = r i .
Если известна плотность вероятности f(x), то используют правило 2.
Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение х i непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность вероятности f, надо выбрать случайное число r i и решить относительно х i уравнение
или уравнение
где а – наименьшее конечное возможное значение Х.
Б. Метод суперпозиции. Правило 3. Для того чтобы разыграть возможное значение случайной величины Х, функция распределения которой
F(x) = C 1 F 1 (x)+C 2 F 2 (x)+…+C n F n (x),
где F k (x) – функции распределения (k=1, 2, …, n), С k >0, С i +С 2 +…+С n =1, надо выбрать два независимых случайных числа r 1 и r 2 и по случайному числу r 1 разыгрывать возможное значение вспомогательной дискретной случайной величины Z (по правилу 1):
p C 1 C 2 … C n
Если окажется, что Z=k, то решают относительно х уравнение F k (x) = r 2 .
Замечание 1. Если задана плотность вероятности непрерывной случайной величины Х в виде
f(x)=C 1 f 1 (x)+C 2 f 2 (x)+…+C n f n (x),
где f k – плотности вероятностей, коэффициенты С k положительны, их сумма равна единице и если окажется, что Z=k, то решают (по правилу 2) относительно х i относительно или уравнение
Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины
Правило. Для того чтобы приближенно разыграть возможное значение х i нормальной случайной величины Х с параметрами а=0 и σ=1, надо сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6:
Замечание . Если требуется приближенно разыграть нормальную случайную величину Z с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением σ, то, разыграв возможное значение х i по приведенному выше правилу, находят искомое возможное значение по формуле: z i =σx i +a.
5.2.2. Разыгрывание непрерывной случайной величины
Пусть требуется разыграть непрерывную случайную величину Х , т.е. получить последовательность ее возможных значений x i (i = 1,2,...). При этом функция распределения F(X) известна.
Существует следующая теорема .
Если r i - случайное число, то возможное значение x i разыгрываемой непрерывной случайной величины Х с известной функцией распределения F(X) соответствующее r i , является корнем уравнения
Алгоритм разыгрывания непрерывной случайной величины:
1. Необходимо выбрать случайное число r i .
2. Приравнять выбранное случайное число известной функции распределения F(X) и получить уравнение .
3. Решить данное уравнение относительно x i . Полученное значение x i будет соответствовать одновременно и случайному числу r i . и заданному закону распределения F(X).
Пример5.2.
Разыграть 3 возможных значения непрерывной случайной величины Х , распределенной равномерно в интервале (2; 10).
Решение
Функция распределения величины Х имеет следующий вид:
По условию, a = 2, b = 10, следовательно,
В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины приравняем F(X) выбранному случайному числу r i .. Получим отсюда:
Подставим эти числа в уравнение (5.3).Получим соответствующие возможные значения х :
Пример 5.3
Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону с известной функцией
(x>0,
параметр
>
0 известен)
Требуется найти формулу для разыгрывания возможных значений Х .
Решение
В соответствии с алгоритмом разыгрывания непрерывной случайной величины получим уравнение
Решим это уравнение относительно x i . Получим:
Случайное число r i находится в интервале (0, 1). Следовательно число (1- r i ) также случайное и принадлежит интервалу (0, 1). То есть случайные величины R и 1 - R распределены одинаково, т.е. равномерно в одном и том же интервале (0, 1). Поэтому для отыскания значения x i можно воспользоваться более простой формулой:
5.2.3. Разыгрывание случайной величины X, распределенной нормально
Известно, что если случайная величина R распределена равномерно в интервале (0, 1), то ее математическое ожидание М(R) = 1/2, а дисперсия D(R) = 1/12.
Составим сумму n независимых случайных величин R j (j = 1,2,...n), которые распределены равномерно в интервале (0, 1). Получим .
Пронормируем эту сумму. Для этого найдем сначала ее математическое ожидание и дисперсию. Известно, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Сумма R i содержит n слагаемых. Математическое ожидание каждого слагаемого равна 1/2. Следовательно математическое ожидание суммы равно:
;
Аналогично для дисперсии суммы R j получим:
Отсюда среднее квадратическое отклонение суммы R j :
Теперь пронормируем сумму R j .
Для этого вычтем из суммы R j математическое ожидание этой суммы и разделим на среднее квадратическое отклонение суммы R j . Получим
(то есть )
На основании центральной предельной теоремы теории вероятностей при распределение этой нормированной случайной величины стремится к нормальному закону с параметрами a = 0 и = 1.
При конечном n распределение можно рассматривать как приближенно нормальное. Например, при n = 12 получим достаточно точное для практики приближение
Таким образом, получаем, что для того чтобы разыграть возможное значение x i нормальной случайной величины Х с параметрами a = 0 и = 1, нужно сложить 12 независимых случайных чисел и из полученной суммы вычесть 6.
Пример 5.4.
1. Разыграть 100 возможных значений случайной величины Х распределенной нормально с параметрами a = 0 и = 1.
2. Оценить параметры разыгранной случайной величины Х .
Решение
1. Выберем 12 случайных чисел распределенных равномерно в интервале (0, 1) из таблицы случайных чисел, либо из компьютера. Сложим эти числа и из суммы вычтем 6, в итоге получим:
Поступая аналогичным образом найдем остальные возможные значения .
2. Выполнив необходимые расчеты найдем выборочную среднюю, которая является оценкой и выборочное среднее квадратическое отклонение, которое является оценкой . Получим:
Как видим, оценки удовлетворительны, т.е. близко к нулю, а близко к единице.
Если требуется разыграть значения нормальной ненормированной случайной величины с математическим ожиданием отличным от нуля и отличным от единицы, то сначала разыгрывают возможные значения x i нормированной случайной величины, а затем находят искомое значение по формуле
которая получена из соотношения:
Таблица 5.1
Формулы для моделирования случайных величин
Обозначим равномерно распределенную СВ в интервале (0, 1) через R, а ее возможные значения (случайные числа) - r j .
Разобьем интервал }